A la izquierda hay una representación de una cuadrícula de heptágonos en un espacio hiperbólico. Para ajustar la rejilla hiperbólica uniforme en el espacio “plano”, el tamaño y la forma de los heptágonos se distorsionan. En el espacio hiperbólico apropiado, cada heptágono tendría una forma y tamaño idénticos, en lugar de hacerse más pequeños y distorsionados hacia los bordes. A la derecha hay un circuito que simula una rejilla hiperbólica similar al dirigir microondas a través de un laberinto de resonadores superconductores en zigzag. Crédito: Springer Nature; Producida por Princeton, Houck Lab
Gracias a Einstein, sabemos que nuestro espacio tridimensional está deformado y curvado. Y en el espacio curvo, las ideas normales de geometría y líneas rectas se rompen, creando la oportunidad de explorar un paisaje desconocido gobernado por nuevas reglas. Pero estudiar cómo se desarrolla la física en un espacio curvo es un desafío: al igual que en el sector inmobiliario, la ubicación lo es todo.
“Sabemos por la relatividad general que el universo mismo está curvado en varios lugares”, dice Alicia Kollár, becaria de JQI, quien también es profesora de física en la Universidad de Maryland (UMD). “Pero, cualquier lugar donde haya un laboratorio tiene una curva muy débil porque si fueras a uno de estos lugares donde la gravedad es fuerte, simplemente destrozaría el laboratorio”.
Los espacios que tienen reglas geométricas diferentes a las que normalmente damos por sentadas se denominan no euclidianos. Si pudiera explorar entornos no euclidianos, encontraría paisajes desconcertantes. El espacio puede contraerse de modo que las líneas rectas y paralelas se unan en lugar de mantener rígidamente un espacio fijo. O podría expandirse para que se separen para siempre. En un mundo así, cuatro carreteras de igual longitud que están todas conectadas por giros a la derecha en ángulos rectos pueden no formar un bloque cuadrado que lo devuelva a su intersección inicial.
Estos entornos anulan los supuestos básicos de la navegación normal y pueden ser imposibles de visualizar con precisión. Las geometrías no euclidianas son tan extrañas que se han utilizado en videojuegos e historias de terror como paisajes antinaturales que desafían o inquietan a la audiencia.
Pero estas geometrías desconocidas son mucho más que abstracciones distantes y de otro mundo. Los físicos están interesados en la nueva física que puede revelar el espacio curvo, y las geometrías no euclidianas podrían incluso ayudar a mejorar los diseños de ciertas tecnologías. Un tipo de geometría no euclidiana que es de interés es el espacio hiperbólico, también llamado espacio curvado negativamente. Incluso una versión física bidimensional de un espacio hiperbólico es imposible de hacer en nuestro entorno “plano” normal. Pero los científicos aún pueden imitar entornos hiperbólicos para explorar cómo se desarrolla cierta física en un espacio con curvas negativas.
En un artículo reciente en Revisión física A, una colaboración entre los grupos de Kollár y el becario JQI Alexey Gorshkov, quien también es físico en el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología y miembro del Centro Conjunto de Información Cuántica y Ciencias de la Computación, presentó nuevas herramientas matemáticas para comprender mejor las simulaciones de espacios hiperbólicos. La investigación se basa en los experimentos anteriores de Kollár para simular cuadrículas ordenadas en el espacio hiperbólico mediante el uso de luz de microondas contenida en chips. Su nueva caja de herramientas incluye lo que ellos llaman un “diccionario entre geometría discreta y continua” para ayudar a los investigadores a traducir los resultados experimentales en una forma más útil. Con estas herramientas, los investigadores pueden explorar mejor el mundo al revés del espacio hiperbólico.
La situación no es precisamente como la de Alicia cayendo por la madriguera del conejo, pero estos experimentos son una oportunidad para explorar un nuevo mundo donde los descubrimientos sorprendentes podrían estar escondidos detrás de cualquier esquina y el significado mismo de doblar una esquina debe reconsiderarse.
“Hay muchas aplicaciones de estos experimentos”, dice el investigador postdoctoral de JQI Igor Boettcher, quien es el primer autor del nuevo artículo. “En este punto, es imprevisible todo lo que se puede hacer, pero espero que tenga muchas aplicaciones ricas y mucha física interesante”.
Un nuevo mundo curvo
En un espacio plano, la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta, y las líneas paralelas nunca se intersecarán, sin importar cuán largas sean. En un espacio curvo, estos conceptos básicos de geometría ya no son válidos. Las definiciones matemáticas de plano y curvo son similares al significado del día a día cuando se aplican a dos dimensiones. Puede hacerse una idea de los conceptos básicos de los espacios curvos imaginando, o jugando con ellos, trozos de papel o mapas.
Por ejemplo, la superficie de un globo (o cualquier bola) es un ejemplo de un espacio bidimensional curvado positivamente. Y si intentas convertir un mapa plano en un globo terráqueo, terminas con un exceso de papel que se arruga a medida que lo curva en una esfera. Para tener una esfera lisa, debe perder el espacio sobrante, lo que da como resultado que las líneas paralelas finalmente se encuentren, como las líneas de longitud que comienzan paralelas en el ecuador y se encuentran en los dos polos. Debido a esta pérdida, puede pensar en un espacio curvado positivamente como un espacio menos espacioso que un espacio plano.
El espacio hiperbólico es lo opuesto a un espacio curvado positivamente, un espacio más espacioso. Un espacio hiperbólico se aleja de sí mismo en cada punto. Desafortunadamente, no existe un equivalente hiperbólico de una pelota en la que puedas forzar una hoja bidimensional; literalmente no encajará en el tipo de espacio en el que vivimos.
Lo mejor que puede hacer es hacer una forma de silla de montar (o una Pringle) donde la hoja circundante se curva hiperbólicamente lejos del punto central. Hacer que todos los puntos de una hoja sean igualmente hiperbólicos es imposible; no hay manera de seguir curvándose y agregando papel para crear un segundo punto de silla perfecto sin que se amontone y distorsione el primer punto de silla hiperbólico.
El espacio extra de una geometría hiperbólica la hace particularmente interesante, ya que significa que hay más espacio para formar conexiones. Las diferencias en los posibles caminos entre los puntos impactan cómo interactúan las partículas y qué tipo de cuadrícula uniforme, como la cuadrícula del heptágono que se muestra arriba, se puede hacer. Aprovechar las conexiones adicionales que son posibles en un espacio hiperbólico puede dificultar la separación total de secciones de una cuadrícula entre sí, lo que podría afectar los diseños de redes como Internet.
Navegando por circuitos laberínticos
Dado que es imposible crear físicamente un espacio hiperbólico en la Tierra, los investigadores deben conformarse con crear experimentos de laboratorio que reproduzcan algunas de las características del espacio curvo. Kollár y sus colegas demostraron anteriormente que pueden simular un espacio curvo bidimensional uniforme. Las simulaciones se realizan utilizando circuitos (como el que se muestra arriba) que sirven como un laberinto muy organizado para que viajen las microondas.
Una característica de los circuitos es que las microondas son indiferentes a las formas de los resonadores que las contienen y solo están influenciadas por la longitud total. Tampoco importa en qué ángulo se conectan los diferentes caminos. Kollár se dio cuenta de que estos hechos significan que el espacio físico del circuito se puede estirar o exprimir de manera efectiva para crear un espacio no euclidiano, al menos en lo que respecta a las microondas.
En su trabajo anterior, Kollár y sus colegas pudieron crear laberintos con varias formas de trayectoria en zigzag y demostrar que los circuitos simulaban el espacio hiperbólico. A pesar de la conveniencia y el orden de los circuitos que usaban, la física que se desarrolla en ellos todavía representa un extraño mundo nuevo que requiere nuevas herramientas matemáticas para navegar de manera eficiente.
Los espacios hiperbólicos ofrecen a los físicos diferentes desafíos matemáticos que los espacios euclidianos en los que normalmente trabajan. Por ejemplo, los investigadores no pueden utilizar el truco estándar de los físicos de imaginar una red cada vez más pequeña para averiguar qué sucede con una cuadrícula infinitamente pequeña, que debería actuar como un espacio continuo y uniforme. Esto se debe a que en un espacio hiperbólico la forma de la celosía cambia con su tamaño debido a la curvatura del espacio. El nuevo artículo establece herramientas matemáticas, como un diccionario entre geometría discreta y continua, para sortear estos problemas y dar sentido a los resultados de las simulaciones.
Con las nuevas herramientas, los investigadores pueden obtener descripciones y predicciones matemáticas exactas en lugar de simplemente hacer observaciones cualitativas. El diccionario les permite estudiar espacios hiperbólicos continuos aunque la simulación sea solo de una cuadrícula. Con el diccionario, los investigadores pueden tomar una descripción de las microondas que viajan entre los distintos puntos de la cuadrícula y traducirlas en una ecuación que describa una difusión suave, o convertir sumas matemáticas en todos los sitios de la cuadrícula en integrales, lo cual es más conveniente en ciertas situaciones. .
“Si me da un experimento con un cierto número de sitios, este diccionario le dice cómo traducirlo a un entorno en un espacio hiperbólico continuo”, dice Boettcher. “Con el diccionario, podemos inferir todos los parámetros relevantes que necesita conocer en la configuración del laboratorio, especialmente para sistemas finitos o pequeños, que siempre es importante desde el punto de vista experimental”.
Con las nuevas herramientas para ayudar a comprender los resultados de la simulación, los investigadores están mejor equipados para responder preguntas y hacer descubrimientos con las simulaciones. Boettcher dice que es optimista sobre la utilidad de las simulaciones para investigar la correspondencia AdS / CFT, una conjetura de la física para combinar las teorías de la gravedad cuántica y las teorías de campos cuánticos utilizando una descripción no euclidiana del universo. Y Kollár planea explorar si estos experimentos pueden revelar aún más física al incorporar interacciones en las simulaciones.
“El hardware abrió una nueva puerta”, dice Kollár. “Y ahora queremos ver a qué física nos permitirá ir”.
Referencia: “Simulación cuántica del espacio hiperbólico con electrodinámica cuántica de circuitos: de los gráficos a la geometría” por Igor Boettcher, Przemyslaw Bienias, Ron Belyansky, Alicia J. Kollár y Alexey V. Gorshkov, 9 de septiembre de 2020, Revisión física A.
DOI: 10.1103 / PhysRevA.102.032208
